Pi

Todos já ouvimos falar de números irracionais. O número pi é um deles. Representa o quociente entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro. Existem vários modos de obter o valor aproximado de pi. Arquimedes, Leibniz, Wallis, propuseram diferentes soluções. Hoje vou falar de mais uma. Foi proposta por Steven Strogatz no seu livro The calculus of friendship (Princeton University Press - 2009). A fórmula para o cálculo é a seguinte:

Parece uma fórmula que não nos faz adiantar muito pois para sabermos pi precisamos de saber um coseno que envolve pi. Só que...

Quais são os diferentes factores que aparecem à direita da equação? Bom, basta atribuir diferentes valores a k e ver o que se passa:

Não me parece que tenhamos avançado muito, ou avançámos??? Façamos umas pequenas manipulações e chegamos a:

E chegamos a um resultado fantástico: só precisamos de calcular raízes quadradas!!! A partir daqui é tudo mais fácil. Basta ver que cada factor no produto se pode obter a partir do anterior. Pense nisso antes de prosseguir a leitura. Fazemos um pequeno programa em Python e já está!

 import math

 def pi_strogatz(n):
     """
     Calculo do valor aproximado de pi pelo 
     método de Steven Strogatz.
     """
     acum = 1
     termo = 0
     for i in range(n):
         termo =  math.sqrt(2 + termo)
         acum = acum * termo / 2
     return 2 / acum